26. Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx^2+βx+γ – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Μελέτη της συνάρτησης $f(x)=αx^2+βx+γ$

1.1 Η συμπλήρωση τετραγώνου είναι μια αλγεβρική μέθοδος

που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει ένα τριώνυμο ή μια δευτεροβάθμια παράσταση σε μορφή που περιέχει το τέλειο τετράγωνο ενός διωνύμου. Η τεχνική αυτή είναι θεμελιώδης για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, τη μελέτη των μετατοπίσεων μιας παραβολής και την παραγοντοποίηση σύνθετων παραστάσεων.

1.1.1 Η Διαδικασία της Μεθόδου

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ (με $\alpha \neq 0$), η μέθοδος ακολουθεί τα εξής βήματα:

Η διαδικασία περιλαμβάνει τα εξής αναλυτικά βήματα:

Διαίρεση ή εξαγωγή του συντελεστή $\alpha$$\alpha$: Για να διευκολυνθεί η διαδικασία, ο συντελεστής του $x^2$ πρέπει να γίνει 1. Αν εργαζόμαστε με την παράσταση $ax^2 + \beta x + \gamma$, ϐγάζουμε το $a$ ως κοινό παράγοντα: $a\left(x^2 + \dfrac{\beta}{\alpha}x + \dfrac{\gamma}{\alpha}\right)$.
Εμφάνιση του διπλάσιου γινομένου: Ο μεσαίος όρος $\dfrac{\beta}{\alpha}x$ γράφεται με τέτοιο τρόπο ώστε να εμφανίζεται το διπλάσιο γινόμενο που απαιτεί η ταυτότητα $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Συγκεκριμένα, ο όρος γίνεται: $2 \cdot x \cdot \dfrac{\beta}{2\alpha}$.
Προσθαφαίρεση του κατάλληλου όρου: Για να «συμπληρωθεί» η ταυτότητα, προσθέτουμε και ταυτόχρονα αφαιρούμε (ώστε να μη μεταβληθεί η αξία της παράστασης) το τετράγωνο του δεύτερου όρου του γινομένου, δηλαδή το $\left(\dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2 = \dfrac{\beta^2}{4\alpha^2}$.
Σχηματισμός της ταυτότητας: Οι τρεις πρώτοι όροι της παράστασης $\left(x^2 + 2x\dfrac{\beta}{2\alpha} + \dfrac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)$ αποτελούν πλέον το ανάπτυγμα της ταυτότητας $\left(x + \dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2$.
Τελική απλοποίηση και μορφή: Η παράσταση παίρνει τη μορφή $a\left[\left(x + \dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2 - \dfrac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha^2}\right]$. Αν χρησιμοποιήσουμε τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$, η τελική κανονική μορφή είναι: \[f(x) = a \left[ \left(x + \dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4\alpha^2} \right]\].

1.1.2 Βασικές Εφαρμογές

Επίλυση Εξισώσεων: Επιτρέπει την εύρεση των ριζών μιας εξίσωσης 2ου βαθμού χωρίς την άμεση χρήση του έτοιμου τύπου, απομονώνοντας το τετράγωνο στο ένα μέλος.
Γεωμετρική Ερμηνεία και Μετατοπίσεις: Χρησιμοποιείται για να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις (οριζόντια και κατακόρυφη) της βασικής παραβολής $y = \alpha x^2$.
Παραγοντοποίηση: Βοηθά στη μετατροπή αλγεβρικών αθροισμάτων σε γινόμενα, ειδικά σε περιπτώσεις όπου λείπει ένας όρος για να σχηματιστεί ταυτότητα (π.χ. στην παράσταση $\alpha^4 + \beta^4 + \alpha^2\beta^2$).
Εύρεση Ακροτάτων: Η μορφή που προκύπτει από τη συμπλήρωση τετραγώνου αποκαλύπτει αμέσως την κορυφή της παραβολής $K\left(-\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\right)$, η οποία αντιστοιχεί στο μέγιστο ή ελάχιστο της συνάρτησης.

1.2 Η $f(x)=αx^2+βx+γ$ ώς μετατόπιση της $f(x)=αx^2$

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ είναι μια παραβολή που προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της βασικής παραβολής $g(x) = \alpha x^2$.

Για να γίνουν εμφανείς αυτές οι μετατοπίσεις, ο τύπος της συνάρτησης μετασχηματίζεται μέσω της μεθόδου συμπλήρωσης τετραγώνου στην κανονική μορφή $f(x) = \alpha \left(x + \dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4\alpha}$, όπου $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ είναι η διακρίνουσα.

Συγκεκριμένα, η διαδικασία περιλαμβάνει τα εξής βήματα:

Οριζόντια Μετατόπιση: Η παραβολή $y = \alpha x^2$ μετατοπίζεται οριζόντια κατά τον άξονα $x'x$ κατά $-\dfrac{\beta}{2\alpha}$ μονάδες. Αν η τιμή $-\dfrac{\beta}{2\alpha}$ είναι θετική, η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά, ενώ αν είναι αρνητική, μετατοπίζεται προς τα αριστερά.
Κατακόρυφη Μετατόπιση: Στη συνέχεια, η παραβολή μετατοπίζεται κατακόρυφα κατά τον άξονα $y'y$ κατά $-\dfrac{\Delta}{4\alpha}$ (ή ισοδύναμα $\dfrac{4\alpha\gamma - \beta^2}{4\alpha}$) μονάδες. Η μετατόπιση γίνεται προς τα πάνω αν η τιμή είναι θετική και προς τα κάτω αν είναι αρνητική.

Ως αποτέλεσμα αυτών των μετατοπίσεων, η κορυφή της παραβολής μεταφέρεται από το σημείο $O(0,0)$ στο σημείο $K\left(-\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\right)$. Παράλληλα, ο άξονας συμμετρίας της συνάρτησης παύει να είναι ο άξονας $y'y$ και γίνεται η ευθεία $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$.

1.3 Μελέτη της συνάρτησης $f(x)=αx^2+βx+γ$ με $\alpha \neq 0$

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

Ορισμός και Πεδίο Ορισμού

Ορισμός: Η συνάρτηση $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, με $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ και $\alpha \neq 0$, ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού ή τριώνυμο.
Πεδίο Ορισμού: Επειδή είναι πολυωνυμική, ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, άρα $A = \mathbb{R}$.

Κανονική Μορφή και Διακρίνουσα

Κανονική Μορφή: Κάθε τριώνυμο μπορεί να γραφτεί στη μορφή $f(x) = \alpha \left[ (x + \dfrac{\beta}{2\alpha})^2 - \dfrac{\Delta}{4\alpha^2} \right]$, όπου $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ είναι η διακρίνουσα.
Ρίζες: Οι ρίζες της εξίσωσης $f(x) = 0$ εξαρτώνται από τη διακρίνουσα:
- Αν $\Delta > 0$, υπάρχουν δύο άνισες πραγματικές ρίζες: $x_{1,2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$.
- Αν $\Delta = 0$, υπάρχει μία διπλή πραγματική ρίζα: $x_0 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$.
- Αν $\Delta < 0$, δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Μονοτονία και Ακρότατα

Η μονοτονία της συνάρτησης αλλάζει στην τιμή $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$:

Αν $\alpha > 0$: Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left(-\infty, -\dfrac{\beta}{2\alpha}\right]$ και γνησίως αύξουσα στο $\left[-\dfrac{\beta}{2\alpha}, +\infty\right)$. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $f\left(-\dfrac{\beta}{2\alpha}\right) = -\dfrac{\Delta}{4\alpha}$.
Αν $\alpha < 0$: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty, -\dfrac{\beta}{2\alpha}\right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left[-\dfrac{\beta}{2\alpha}, +\infty\right)$. Παρουσιάζει ολικό μέγιστο το $f\left(-\dfrac{\beta}{2\alpha}\right) = -\dfrac{\Delta}{4\alpha}$.

Γραφική Παράσταση

Η γραφική παράσταση της $f$ είναι μια καμπύλη που ονομάζεται παραβολή.
Έχει κορυφή το σημείο $K\left(-\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\right)$ και άξονα συμμετρίας την ευθεία $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$.
Τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, \gamma)$.

Οδηγία

Στην παραπάνω ενσωματωμένη μικροεφαρμογή geogebra

Αφου επιλέξετε έναν δρομέα:

Πατήστε Shift + > για να αυξήσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α, β ή γ.

Πατήστε Shift + < για να μειώσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α, β ή γ.

Μετακινήστε τον δρομέα α για να δείτε τι συμβαίνει όταν αλλάζει το α της συνάρτησης.
Μετακινήστε τον δρομέα γ ώστε να είναι μηδέν. Αλλάξτε την τιμή των α και β και παρατηρήστε τι συμβαίνει στην γραφική παράσταση.
Κάντε το β μηδέν και μετακινήστε τα α και β. τι παρατηρείτε;

1.4 Πίνακες Αποτελεσμάτων Μελέτης

Πίνακας Μονοτονίας και Ακροτάτων

$x$	$-\infty$	$-\frac{\beta}{2\alpha}$	$+\infty$
$f(x)$ ($\alpha > 0$)	$\searrow$	Ελάχιστο: $-\dfrac{\Delta}{4\alpha}$	$\nearrow$
$f(x)$ ($\alpha < 0$)	$\nearrow$	Μέγιστο: $-\dfrac{\Delta}{4\alpha}$	$\searrow$

Πίνακας Προσήμου Τριωνύμου

$\Delta$	$x$	$-\infty$	$x_1$		$x_2$	$+\infty$
$\Delta > 0$	$f(x)$	Ομόσημο $\alpha$	$0$	Ετερόσημο $\alpha$	$0$	Ομόσημο $\alpha$
$\Delta = 0$	$f(x)$ ($x \neq x_0$)	Ομόσημο $\alpha$		$0$ ($x=x_0$)		Ομόσημο $\alpha$
$\Delta < 0$	$f(x)$	Ομόσημο $\alpha$		για κάθε $x$		Ομόσημο $\alpha$

1.5 ….. αναλυτικά

Το πρόσημο του τριωνύμου $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma, \alpha \neq 0$, εξαρτάται από τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ και τον συντελεστή $\alpha$.

1.5.1 Όταν $\alpha > 0$

Στην περίπτωση αυτή, το τριώνυμο είναι θετικό («ομόσημο του $\alpha$») σε όλο το εύρος του, εκτός από το διάστημα μεταξύ των ριζών (αν υπάρχουν).

Αν $\Delta > 0$ (Δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_1, x_2$ με $x_1 < x_2$):

$x$	$-\infty$	$x_1$		$x_2$	$+\infty$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Το τριώνυμο είναι ετερόσημο του $\alpha$ (αρνητικό) μόνο μεταξύ των ριζών.

Αν $\Delta = 0$ (Μία διπλή πραγματική ρίζα $x_0 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$):

$x$ $-\infty$ $x_0$ $+\infty$

$f(x)$ $+$ $0$ $+$

\(x\)	\(-\infty\)	\(x_0\)	\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(+\)

Το τριώνυμο είναι παντού θετικό, εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται.

Αν $\Delta < 0$ (Καμία πραγματική ρίζα):

$x$ $-\infty$ $+\infty$

$f(x)$ $+$ $+$

\(x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(+\)	\(+\)

Το τριώνυμο παραμένει ομόσημο του $\alpha$ (θετικό) για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

1.5.2 Όταν $\alpha < 0$

Στην περίπτωση αυτή, το τριώνυμο είναι αρνητικό («ομόσημο του $\alpha$») σε όλο το εύρος του, εκτός από το διάστημα μεταξύ των ριζών (αν υπάρχουν).

Αν $\Delta > 0$ (Δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_1, x_2$ με $x_1 < x_2$):

$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$

$f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

\(x\)	\(-\infty\)	\(x_1\)		\(x_2\)	\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)

Το τριώνυμο είναι ετερόσημο του $\alpha$ (θετικό) μόνο μεταξύ των ριζών.

Αν $\Delta = 0$ (Μία διπλή πραγματική ρίζα $x_0 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$):

$x$ $-\infty$ $x_0$ $+\infty$

$f(x)$ $-$ $0$ $-$

\(x\)	\(-\infty\)	\(x_0\)	\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(-\)

Το τριώνυμο είναι παντού αρνητικό, εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται.

Αν $\Delta < 0$ (Καμία πραγματική ρίζα):

$x$ $-\infty$ $+\infty$

$f(x)$ $-$ $-$

\(x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(-\)	\(-\)

Το τριώνυμο παραμένει ομόσημο του $\alpha$ (αρνητικό) για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

Γενικό Συμπέρασμα: Το τριώνυμο είναι ετερόσημο του $\alpha$ μόνο όταν $\Delta > 0$ και για τιμές του $x$ μεταξύ των ριζών. Σε κάθε άλλη περίπτωση είναι ομόσημο του $\alpha$ ή μηδέν.

1.6 Παραδείγματα

Πλήρης Μελέτη: Για την $f(x) = -x^2 + 4x - 3$, έχουμε $\alpha=-1, \beta=4, \gamma=-3$. Διακρίνουσα $\Delta = 4$. Κορυφή $K(2, 1)$, ρίζες $x=1, 3$, άξονας συμμετρίας $x=2$ και μέγιστο το $1$.
Εύρεση Συντελεστών: Αν $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=-2$, αντικαθιστούμε στον τύπο και λύνουμε το σύστημα για να βρούμε τα $\alpha, \beta, \gamma$.
Μονοτονία: Η $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ έχει $\alpha=2>0$. Παρουσιάζει ελάχιστο στο $x = -\dfrac{4}{2(2)} = -1$, το $f(-1) = -1$.
Συνθήκες Γραφικής Παράστασης: Παραβολή με άξονα συμμετρίας $x=-1$, ελάχιστο το $-1$ και διέλευση από το $(0,0)$. Προκύπτει ο τύπος $f(x) = x^2 + 2x$.
Σημεία Τομής: Τα κοινά σημεία των $f(x) = x^2 - 5x + 4$ και $g(x) = 2x - 6$ βρίσκονται λύνοντας την $x^2 - 7x + 10 = 0$, άρα είναι τα $(2, -2)$ και $(5, 4)$.
Μετατόπιση: Η γραφική παράσταση της $f(x) = 2(x-1)^2 + 3$ προκύπτει από την $g(x) = 2x^2$ με οριζόντια μετατόπιση κατά $1$ δεξιά και κατακόρυφη κατά $3$ πάνω.
Μελέτη Προσήμου: Για το $x^2 - 6x + 8$, οι ρίζες είναι $2$ και $4$. Το τριώνυμο είναι θετικό στα $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ και αρνητικό στο $(2, 4)$.
Παραμετρικό Τριώνυμο: Εύρεση του $k$ ώστε η $f(x) = x^2 - (k+1)x + k$ να εφάπτεται στον άξονα $x'x$. Πρέπει $\Delta = (k-1)^2 = 0 \Rightarrow k = 1$.

1.7 Ασκήσεις

Να βρεθούν οι ρίζες του τριωνύμου $x^2 - 5x + 4$.
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $x^2 - x - 6$.
Να προσδιοριστεί το πρόσημο της παράστασης $-2x^2 + 3x + 2$ για τις διάφορες τιμές του $x$.
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$.
Να βρεθεί η τιμή του $k$ αν η $f(x) = kx^2 - (k+1)x + k$ έχει ελάχιστο ίσο με $1$.
Να βρεθούν τα σημεία τομής της $f(x) = x^2 - 2x - 8$ με τους άξονες.
Να λυθεί η εξίσωση $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Να λυθεί η ανίσωση $(x-2)^2 - 6|x-2| + 8 \leq 0$.
Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$.
Για ποιες τιμές του $\lambda$ η συνάρτηση $f(x) = \lambda x^2 + 2(2-\lambda^2)x - 1$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x=-1$;.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$.
Προσδιορίστε τα $\lambda, \mu$ ώστε η $f(x) = 3x^2 + (2\lambda+4)x + 2\mu - 3$ να διέρχεται από το $(-1, -2)$ και να τέμνει τον $y'y$ στο $1$.
Να αποδειχθεί ότι $x^2+x+1 > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$.
Βρείτε τον τύπο της $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ που διέρχεται από τα σημεία $(0,1), (1,2)$ και $(2,-2)$.
Να λυθεί η ανίσωση $x^2 - 3x + 2 \geq 0$.
Βρείτε το $k$ ώστε η $y = x^2 + kx + 1$ να εφάπτεται στον άξονα $x'x$.
Δείξτε ότι η εξίσωση $x^2 - (2\lambda+1)x + \lambda - 1 = 0$ έχει πάντα δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
Βρείτε τα κοινά σημεία των $f(x) = x^2 + 3x - 2$ και $g(x) = 3x + 2$.
Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$.
Για ποιες τιμές του $\lambda$ η ανίσωση $(\lambda-1)x^2 - 2x + \lambda - 1 < 0$ αληθεύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$;.
Για τις συναρτήσεις που υπάρχουν στις παρακάτω εικόνες να συμπληρώσετε τον πίνακα

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline .&α&β&γ&Δ\\ \hline f& & & &\\ \hline h & +&-3 & 0 &+\\ \hline t& & & &\\ \hline p& & & &\\ \hline q& & & &\\ \hline r& & & &\\ \hline s& & & &\\ \hline g& & & &\\ \hline \end{array}\]

A) Σωστό – Λάθος

1. Παραβολή

Αν η παραβολή $y=\alpha x^2$, $\alpha\neq0$, διέρχεται από το σημείο $A(-2,8)$, τότε βρίσκεται στο 2ο και 3ο τεταρτημόριο.

$\framebox{Σ } \ \ \ \ \framebox{Λ }$

2. Ρίζες τριωνύμου και άξονας συμμετρίας

Αν το τριώνυμο \[f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma,\qquad \alpha\neq0\] έχει ρίζες $x_1=-2$ και $x_2=4$, τότε ο άξονας συμμετρίας της παραβολής είναι η ευθεία \[x=1.\]

$\framebox{Σ } \ \ \ \ \framebox{Λ }$

3. Παραβολή και υπερβολή

Για οποιουσδήποτε $\alpha,\beta\in\mathbb R^*$, οι καμπύλες \[y=\alpha x^2 \quad\text{και}\quad y=\frac{\beta}{x}\] έχουν πάντοτε δύο κοινά σημεία.

$\framebox{Σ } \ \ \ \ \framebox{Λ }$

4. Υπερβολή και ευθεία

Η υπερβολή \[y=\frac{2}{x}\] και η ευθεία \[y=-2x\] τέμνονται.

$\framebox{Σ } \ \ \ \ \framebox{Λ }$

Β) Συμπλήρωση με (=), (<) ή (>)

Αν το τριώνυμο \[f(x)=3x^2+\beta x+\gamma\] έχει ρίζες τους αριθμούς $x_1=-2$ και $x_2=4$, τότε θα ισχύει:

\[f(-4)\ \ldots\ 0,\qquad f(1)\ \ldots\ 0,\qquad f(5)\ \ldots\ 0,\]

\[\gamma\ \ldots\ 0,\qquad \beta\ \ldots\ -6.\]

Αν το τριώνυμο \[f(x)=-2x^2+\beta x+\gamma\] έχει ρίζες τους αριθμούς $x_1=-4$ και $x_2=2$, τότε θα ισχύει:

\[f(-5)\ \ldots\ 0,\qquad f(-1)\ \ldots\ 0,\qquad f(3)\ \ldots\ 0,\]

\[\gamma\ \ldots\ 0,\qquad \beta\ \ldots\ 4.\]

Γ) Πολλαπλής επιλογής

Δίνεται το τριώνυμο \[f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma,\qquad \alpha\neq0.\]

1. Κορυφή παραβολής

Αν $\alpha=3$ και το τριώνυμο (f) έχει κορυφή το σημείο \[K(-2,4),\] τότε:

α) $f(x)=3(x+2)^2+4$

β) $f(x)=3(x+2)^2-4$

γ) $f(x)=3(x-2)^2+4$

δ) $f(x)=3(x-2)^2-4$

2. Πρόσημο διακρίνουσας και συντελεστή $\alpha$

Αν \[f(-2)<0,\qquad f(2)>0,\qquad f(4)<0,\] τότε:

α) $\Delta=0$ και $\alpha>0$

β) $\Delta>0$ και $\alpha>0$

γ) $\Delta>0$ και $\alpha<0$

δ) $\Delta<0$ και $\alpha<0$

3. Κορυφή και διακρίνουσα

Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο \[K(-1,3)\] και $\alpha>0$, τότε:

α) $\Delta>0$

β) $\Delta=0$

γ) $\Delta<0$

δ) $\gamma<0$

4. Κορυφή πάνω στον άξονα (x’x)

Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο \[K(2,0),\] τότε:

α) $\beta=0$

β) $\Delta<0$

γ) $\Delta>0$

δ) $\Delta=0$

Δ) Αντιστοίχιση γραφικών παραστάσεων

Οι παρακάτω καμπύλες $C_1,C_2,C_3,C_4$

είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

\[f_1(x)=x^2-6x\]

\[f_2(x)=x^2-6x+5\]

\[f_3(x)=-x^2+6x\]

\[f_4(x)=-x^2+6x-5.\]

Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις παραπάνω συναρτήσεις με τη σωστή γραφική παράσταση, με βάση τα χαρακτηριστικά της.

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

Συνάρτηση	$f_1$	$f_2$	$f_3$	$f_4$
Γραφική παράσταση	…	…	…	…

Ε) Αντιστοίχιση γραφικών παραστάσεων

Οι παρακάτω καμπύλες $C_1,C_2,C_3,C_4$

είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

\[g_1(x)=x^2-4x, \qquad g_2(x)=2(x-2)^2\]

\[g_3(x)=-x^2+4x, \qquad g_4(x)=-2(x+3)^2\]

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

Συνάρτηση	$g_1$	$g_2$	$g_3$	$g_4$
Γραφική παράσταση	…	…	…	…

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!

\(x\)	\(-\infty\)	\(-\frac{\beta}{2\alpha}\)	\(+\infty\)
\(f(x)\) (\(\alpha > 0\))	\(\searrow\)	Ελάχιστο: \(-\dfrac{\Delta}{4\alpha}\)	\(\nearrow\)
\(f(x)\) (\(\alpha < 0\))	\(\nearrow\)	Μέγιστο: \(-\dfrac{\Delta}{4\alpha}\)	\(\searrow\)

\(\Delta\)	\(x\)	\(-\infty\)	\(x_1\)		\(x_2\)	\(+\infty\)
\(\Delta > 0\)	\(f(x)\)	Ομόσημο \(\alpha\)	\(0\)	Ετερόσημο \(\alpha\)	\(0\)	Ομόσημο \(\alpha\)
\(\Delta = 0\)	\(f(x)\) (\(x \neq x_0\))	Ομόσημο \(\alpha\)		\(0\) (\(x=x_0\))		Ομόσημο \(\alpha\)
\(\Delta < 0\)	\(f(x)\)	Ομόσημο \(\alpha\)		για κάθε \(x\)		Ομόσημο \(\alpha\)

26. Μελέτη της συνάρτησης \(f(x)=αx^2+βx+γ\)

1 Μελέτη της συνάρτησης \(f(x)=αx^2+βx+γ\)

1.1 Η συμπλήρωση τετραγώνου είναι μια αλγεβρική μέθοδος

1.1.1 Η Διαδικασία της Μεθόδου

1.1.2 Βασικές Εφαρμογές

1.2 Η \(f(x)=αx^2+βx+γ\) ώς μετατόπιση της \(f(x)=αx^2\)

1.3 Μελέτη της συνάρτησης \(f(x)=αx^2+βx+γ\) με \(\alpha \neq 0\)

1.4 Πίνακες Αποτελεσμάτων Μελέτης

1.5 ….. αναλυτικά

1.5.1 Όταν \(\alpha > 0\)

1.5.2 Όταν \(\alpha < 0\)

1.6 Παραδείγματα

1.7 Ασκήσεις